Сборник заданий по методам программирования - страница 15

^ Реализовать алгоритм поиска двусвязных компонент

Определение. Пусть задан граф G. Будем называть вершину графа точкой сочленения, если ее удаление (вместе с инцидентными ей ребрами) приводит к увеличению числа компонент связности.


Определение. Граф без точек сочленения называется блоком. Двусвязной компонентой графа называется любой максимальный (по количеству ребер) подграф, являющийся блоком.


Задача:

Необходимо реализовать алгоритм поиска двусвязных компонент произвольного неориентированного графа.


Указания:

Алгоритм поиска двусвязных компонент основан на поиске точек сочленения с помощью алгоритма обхода графа в глубину. Подробное описание алгоритма можно найти в [1,3].


    1. ^ Реализовать алгоритм нахождения в графе Эйлерова цикла, если такой имеется


Определение. Путь, проходящий по всем ребрам графа в точности по одному разу, называется эйлеровым путем. Замкнутый эйлеров путь называется эйлеровым циклом.


Задача:

Реализовать алгоритм Флери построения эйлерова цикла в связном неориентированном графе ^ G=(V,E), в котором степени всех вершин четны.


Указания:

Граф задан списком ребер. Алгоритм кратко можно описать следующим образом:

  1. Выбрать произвольную вершину.

Обнулить счетчик пройденных ребер.

  1. Выбрать одно из ребер, инцидентных этой вершине. При этом ребро, при удалении которого граф, образованный не вычеркнутыми из списка ребер ребрами графа, не выбирается никогда, а ребро, ведущее в начальную вершину, выбирается, только если нет других вариантов.

  2. Перейти по выбранному ребру в смежную вершину.

  3. Присвоить ребру следующий по порядку номер, и вычеркнуть из списка ребер графа.

  4. Проверить, что присвоенный номер меньше |E|. Если это так, то перейти к пункту 2, если нет, то закончить работу (номера ребер показывают порядок обхода графа по эйлерову циклу).

Подробное описание алгоритма можно найти в [1,3].


    1. ^ Реализовать алгоритм нахождения базисных циклов


Определение. Система циклов графа называется полной, если любой цикл данного графа представляется в виде линейной комбинации циклов из этой системы.


Определение. Базисом циклов графа называется любая полная линейно независимая система циклов данного графа.


Задача:

Реализовать алгоритм построения базисных циклов графа. G=(V,E)


Указания:

Сначала строится остов связного графа G=(V,E) с перенумерованными ребрами, а затем базис циклов.


Алгоритм построения остова.

  1. Выбрать первое ребро и занести в список.

  2. Выбрать следующее по номеру ребро.

  3. Если выбранное ребро образует цикл с какими-либо из ранее занесенных в список, то переходим к п.4, если это не так, то к п.5.

  4. Если номер выбранного ребра меньше |E|, то переходим к п.2, если нет, то к п.6.

  5. Занести ребро в список. Перейти к п.4

  6. Вывести список ребер.


Алгоритм построения базиса циклов произвольного графа.

  1. Выделить связные компоненты.

  2. В каждой компоненте связности выделить остов и построить базис циклов.

  3. Объединить полученные базисы.


Более подробное описание алгоритма можно найти в [1,3].
^ ТЕМА 7.Комбинаторные алгоритмы
    1. Задача о построении латинских квадратов


Определение: Латинский квадрат порядка n представляет собой матрицу n ×n, элементы которой выбраны из целых чисел от 1 до n таким образом, что каждое целое число встречается точно один раз в каждой строке и каждом столбце.


Определение: Пусть даны два латинских квадрата A и B размера n. Если нет одинаковых упорядоченных пар (aij ,bij), 1 ≤ i,j ≤ n, то такие квадраты называются ортогональными.


Задача:

Используя процедуру перебора с возвратом, доказать, что не существует латинского квадрата, ортогонального следующему

1234

2341

3412

4123

Указания:

Подробное описание алгоритма можно найти в [15]


    1. ^ Генерация перестановок в лексикографическом порядке


Задача:

Необходимо получить все перестановки на множестве из n элементов в лексикографическом порядке.


Указания:

Предположим, что основным множеством является множество натуральных чисел {1,2,…,n}. Таким образом, нужно рассматривать перестановки множества натуральных чисел {1,2,…,n}. Последовательность перестановок представлена в лексикографическом порядке, если она записана в порядке возрастания получающихся чисел. Например, лексикографическая последовательность перестановок трех элементов имеет вид 123, 132, 213, 231, 312, 321. Подробное описание алгоритма можно найти в [9].



    1. 8188761084626021.html
      8188871174082935.html
      8188938072580429.html
      8188955865266205.html
      8189238826084199.html